Approches topologiques pour la classification d’images

Notre approche se concentre dans le développement théorique et pratique de nouveaux outils issus de la topologie algébrique. L’attrait de ces outils tient en premier lieu dans l’insensibilité des descripteurs qui en découlent aux transformations physiques du support telles que les rotations, les dilatations des tissus observés ou toutes autres modifications continues. Par ailleurs, la quantité de données d’une image SLIM est conséquente et il devient nécessaire d’intégrer celles-ci pour en extraire l’information, ce qui nécessite un passage du local vers le global tel que le propose la topologie algébrique.

Plus précisément, nous nous orientons vers le développement des indicateurs topologiques issus des théories de l’homologie persistante, de la cohomologie de faisceaux et de Morse afin de mettre à profit leurs propriétés d’invariance par rotation, par translation et par déformation sans déchirure ni recollement. Ce premier objectif nécessite la construction d’un espace abstrait adéquat correspondant aux types d’images observées puis à son étude topologique. L’aspect calculatoire de cette construction se fera grâce aux algorithmes spécifiques récemment développés en topologie algébrique. Le second objectif est la création d’un outil d’aide au diagnostic basé sur les résultats précédents. Cet outil intégrera une classification intelligente des images prenant en compte les analyses topologiques locales, mais aussi statistiques, des tissus.

L’analyse d’images SLIM s’accompagne de nouvelles problématiques en traitement du signal. En effet, de par leur extrême précision, ces images comportent de l’information à tous les niveaux d’échelle. Pour gérer cette multiplicité d’échelles, plusieurs approches complémentaires sont envisagées :

1. créer une représentation multi-échelle des informations fournies par des descripteurs appliqués localement. Ces descripteurs sont choisis pour caractériser efficacement les images analysées ;
2. recourir à des descripteurs insensibles aux effets d’échelles. Nous pensons notamment aux groupes d’homologie qui sont invariants à toute transformation continue de l’image ;
3. intégrer les informations issues d’une étude locale pour en construire une version globale, expurgée des informations inutiles. Nous pensons notamment à la cohomologie de la théorie des faisceaux pour faire ce passage du local au global.

Ces trois approches sont complémentaires, chacune d’entre elles présentant de nombreux verrous techniques, et seront étudiées en parallèle.

Ce projet est particulièrement novateur car il utilise des outils qui, bien que connus en mathématiques, ne sont que peu employés en traitement du signal. En effet, les mesures fournies par ces approches ne sont pas classiques en ce sens qu’elles sont souvent représentées par des objets purement algébriques et non numériques. Ces outils mathématiques nécessitent la création d’espaces abstraits qui représentent les informations locales et leur connectivité avec le voisinage. Il ne s’agit pas ici d’utiliser simplement une simple surface de niveau comme cela a déjà été proposé, mais bien d’étudier les informations issues des images. La compréhension de l’image par la construction d’espaces ad hoc fait aussi partie du caractère novateur de ce projet. D’autre part, la forte connexion avec l’aspect applicatif d’analyse d’images SLIM fait de ce projet une interface entre des théories mathématiques ardues et des outils pragmatiques. Enfin, les aspects théoriques des méthodes développées pourront être utilisés dans d’autres domaines ou appliqués à d’autres projets. En effet, nous appliquons actuellement les outils de topologie algébrique au contexte très différent de la couverture dans les réseaux de capteurs sans fil.